O que é um paradoxo?
Um paradoxo
é uma declaração aparentemente verdadeira que leva a uma contradição lógica, ou
a uma situação que contradiz a intuição comum. Em termos simples, um paradoxo é
"o oposto do que alguém pensa ser a verdade". A identificação de um
paradoxo baseado em conceitos aparentemente simples e racionais tem, por vezes,
auxiliado significativamente o progresso da ciência, filosofia e matemática.
É contado
sob a forma de uma corrida entre Aquiles e uma tartaruga. Aquiles, o herói
grego, e a tartaruga decidem apostar uma corrida. Como a velocidade de Aquiles
é maior que a da tartaruga, esta recebe uma vantagem, começando a corrida bem a
frente da linha de largada de Aquiles. Aquiles nunca sobrepassa à tartaruga,
pois quando ele chegar à posição inicial A da tartaruga, esta encontra-se mais a
frente, numa outra posição B. Quando Aquiles chegar a B, a tartaruga não está
mais lá, pois avançou para uma nova posição C, e assim sucessivamente, ad
infinitum.
Em termos
matemáticos, seria dizer que o limite, com o espaço entre a tartaruga e Aquiles
tendendo a 0, do espaço de Aquiles, é a tartaruga. Ou seja, ele virtualmente
alcança a tartaruga, mas nessa linha de raciocínio, não importa quanto tempo se
passe, Aquiles nunca alcançará a tartaruga nem, portanto, poderá ultrapassá-la.
Esse paradoxo vale-se fortemente do conceito de referencial. Dada uma corrida
somente de Aquiles, sem estar contra ninguém, seu movimento é ilimitado. Ao se
colocar, porém, a tartaruga, cria-se um referencial para o movimento de Aquiles,
que é o que causa o paradoxo.
De fato, o
movimento dele é independente do movimento da tartaruga; se adotamos a
tartaruga como um padrão para determinar o movimento dele, criamos uma situação
artificial em que Aquiles é regido pelo espaço da tartaruga. É uma visão do
problema que pode remeter à mecânica quântica e ao Princípio da Incerteza
formulado por Werner Heisenberg em 1927. Esse princípio rege que quão maior a
certeza da localização de uma partícula, menor a certeza de seu momento, e isso
é implicado pela existência de um observador no sistema físico. Analogamente, o
paradoxo de Aquiles e da tartaruga tem sua interpretação mudada conforme a
existência ou não da última, gerando o denominado Paradoxo quântico de Zenão ,
que em determinadas condições relacionadas à medição, Aquiles nunca alcançaria
a tartaruga.
Se você
ainda não entendeu este paradoxo, imagine um atleta querendo correr uma
distância de 60m, para chegar no final do percurso ele primeiro terá que passar
no ponto que corresponde a 1/2 (metade) do percurso, depois no próximo ponto
que corresponde a 2/3 do percurso, depois 3/4 do percurso, para assim chegar a
4/5 do percurso e depois 5/6 do percurso e depois 30/31 do percurso ao ponto
correspondente a 199/200 e depois ao ponto 5647/5648 do percurso (que
numericamente corresponderia a 59,9893798 metros), tendendo assim a ser um
número infinito de pontos antes que o corredor chegue ao final.
Como o
infinito é uma abstração matemática que significa algo que não tem limite, o
atleta jamais conseguiria chegar ao final do percurso (60 metros), pois ele
teria que percorrer infinitos pontos para chegar a um final, se ele chegasse ao
fim depois de percorrer o infinito, significaria que este infinito tem um fim,
como isto não é possível, gera assim o paradoxo. "O problema por trás da
Dicotomia, que é o mesmo que o do Aquiles, parece repousar na intuição de que o
corredor demora um tempo finito mínimo para percorrer cada intervalo espacial
sucessivo.
SOLUÇÃO
Como há
infinitos desses intervalos, o tempo de transcurso seria infinito. Porém,
sabemos que essa intuição é errônea: o tempo de percurso por cada intervalo é
proporcional ao comprimento do intervalo (supondo velocidade constante). Esse
ponto foi apontado por Aristóteles (Física VI, 233a25), mas em outro trecho ele
se confundiu com relação à presença de infinitos intervalos finitos de tempo
(Física VIII, 263a15). Da mesma maneira que os intervalos espaciais somam 1 na
série convergente, os intervalos temporais também o fazem. O corredor acaba
completando o percurso!
A solução
clássica para esse paradoxo envolve a utilização do conceito de limite e
convergência de séries numéricas. O paradoxo surge ao supor intuitivamente que
a soma de infinitos intervalos de tempo é infinita, de tal forma que seria
necessário passar um tempo infinito para Aquiles alcançar a tartaruga. No
entanto, os infinitos intervalos de tempo descritos no paradoxo formam uma
progressão geométrica e sua soma converge para um valor finito, em que Aquiles
encontra a tartaruga. Outra solução é que esse é um raciocínio infinitesimal,
em que cada objeto move-se infinitamente por distâncias que vão reduzindo-se
infinitamente a cada etapa, o que só seria possível se as dimensões de cada
objeto pudessem ser abstraídas, como se fossem pontos materiais, o que não
ocorre, no mundo físico, pois as leis da mecânica clássica (de Newton) não se
aplicam em espaços inferiores ao comprimento de Planck.
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